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Partielle DGL

Du möchtest wissen, was eine partielle Differentialgleichung ist? Dann bist du hier genau richtig! Im folgenden erklären wir dir diese besondere Form der Differentialgleichungen.

Inhaltsübersicht

Partielle Differentialgleichung Definition und Abgrenzung zu gewöhnlichen Differentialgleichungen

Wie du weißt, hängt bei gewöhnlichen Differentialgleichungen die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x ab, zum Beispiel von einem Ort. Jetzt kann es aber sein, dass dich ein Zustand y nicht nur für verschiedene Orte, sondern auch für unterschiedliche Zeitpunkte interessiert. Dafür brauchst du partielle Differentialgleichungen, in denen y eine Funktion mehrerer Variablen ist und auch nach mehreren Variablen partiell abgeleitet wird.

Partielle Differentialgleichung, Partielle DGL, Partielle DGL Beispiel — Partielle Differentialgleichung

Partielle Differentialgleichung Aufbau und Formel

Eine partielle Differentialgleichung für $y(x_1,\ x_2)$ , also für zwei Variablen, sieht dann so aus:

${F}}\left(x_1,\ x_2,{y}\left(x_1,x_2\right),\frac{\partial\y(x_1,y_2)}{\partial x_1},\frac{\partial\y(x_1,x_2)}{\partial x_2},\frac{\partial^2\y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}$

Hier ist F eine Funktion von x₁, x₂, y und den partiellen Ableitungen nach x₁und x₂. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung können zweite Ableitungen nach ein- und derselben Variable sein wie:

$\frac{\partial^2\mathbit{y}\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1^2}$

oder gemischte Ableitungen nach verschiedenen Variablen, so wie:

$\frac{\partial^2y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2}$

Natürlich kann y auch eine Funktion von n Variablen x₁, x₂, …, x_n sein:

${y}}\left(x_1,\ x_2,\ldots,x_n\right)$

Dann sieht die DGL so aus:

${F}}\left(x_1,\ x_2,\ \mathbit{y},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_1},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_2},\ldots,\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_n},\frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1^2},\ \frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}$

Aus Übersichtsgründen haben wir die Abhängigkeiten in Klammern weggelassen.

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Zusammenfassung — Partielle DGL

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Das Bild zeigt einen Lernzettel, auf dem alles wichtige zu dem Thema "Partielle DGL" dargestellt ist. Für Schlüer der Klasse 13.

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Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

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Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Du kennst nun die Grundlagen partieller Differentialgleichungen. Doch wie lassen sich diese systematisch einordnen? In unserem Beitrag zur Klassifizierung partieller Differentialgleichungen erfährst du, welche verschiedenen Typen es gibt und wie du sie unterscheidest.

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