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Gini Koeffizient

Dieser Artikel behandelt den Gini Koeffizient, welcher in Prozent auch als Gini Index angegeben werden kann. Nach einer Definition und Erklärung folgt die Berechnung des Gini Koeffizient. Anhand einer Beispielaufgabe wird deutlich, wie der Gini Index berechnet und interpretiert werden kann.

Lange Definitionen und Erklärungen sind nichts für dich? In unserem Video zeigen wir dir alles was du zum Gini Index wissen musst in wenigen Minuten!

Inhaltsübersicht

Gini Koeffizient Definition

Der Gini Koeffizient oder auch Gini Index ist ein statistisches Maß zur Abbildung der relativen Konzentration von Ungleichverteilungen. Die Gini Ratio wurde vom italienischen Statistiker Corrado Gini entwickelt.

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Gini Koeffizient berechnen

Aufgrund der unterschiedlichen Anwendungsbereiche gibt es viele Möglichkeiten und Formeln den Gini Koeffizienten zu bestimmen. Im Endeffekt ist das Ergebnis aber für jede Variante bis auf kleine Abweichungen aufgrund des Auf- und Abrundens dasselbe.

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Gini Koeffizient Erklärung

Normalerweise nimmt der Gini Koeffizient einen Wert zwischen 0 und 1 an. Dabei bedeutet der Wert 0, dass eine totale Gleichheit der Einkommensverteilung vorliegt und die Einkommensdisparität niedrig ist. Der Wert 1 stellt folglich eine totale Ungleichheit der Einkommensverteilung dar, also eine maximale Einkommensdisparität. Der Koeffizient kann auch in Prozent angegeben werden und wird dann als Gini Index bezeichnet. Im geläufigsten Anwendungsfall wird die Einkommensverteilung der Bevölkerung eines Staates durch den Gini Koeffizienten von 0 bis 1 angegeben. Hat ein Staat einen kleinen Koeffizienten, sagt das aus, dass alle Personen ein relativ gleich hohes Einkommen haben und die Einkommensverteilung recht gleichmäßig ist.

Lorenzkurve Gini Koeffizient

An der Lorenzkurve kann abgelesen werden, wie viel Prozent der Merkmalssumme auf wie viel Prozent der Gesamtheit der Merkmalsträger entfallen. Diese Kurve spannt sich immer zwischen den beiden Extremen der totalen Gleichheit, also der Winkelhalbierenden, und der totalen Ungleichheit auf. Der Gini Koeffizient fasst all diese Informationen in einer einzelnen Zahl zusammen und ist somit eine Maßzahl für die Ungleichheitsverteilung. Um von der Lorenzkurve den Gini Koeffizienten abzuleiten, betrachtet man die Fläche, welche sich zwischen der Lorenz- oder auch Disparitätenkurve und der Winkelhalbierenden aufspannt. Diese Fläche wird auch als Konzentrationsfläche bezeichnet. Je größer diese Fläche ist, desto größer ist logischerweise auch der Gini Koeffizient und die damit verbundene Ungleichverteilung.

Gini Koeffizient Beispielaufgabe

Um den Gini Koeffizienten so zu bestimmen, muss man also die Konzentrationsfläche zwischen der Winkelhalbierenden und der Lorenzkurve durch die maximal mögliche Konzentrationsfläche unter der Winkelhalbierenden teilen. Wie die Werte der Kurve berechnet werden und wie man anhand diese zeichnen kann, wird dir ausführlich im Video zur Lorenzkurve erklärt, aus welchem auch die folgenden Daten entnommen wurden:

Gini Koeffizient berechenen, Lorenzkurve, Gini Index — Beispielaufgabe Gini Koeffizient: Lorenzkurve

Das Vorgehen, um den Gini Koeffizient zu berechnen ist nun folgendes:

Aufteilung in einzeln zu berechnende Trapeze unter der Kurve
Subtraktion der gesamten Trapezfläche von der maximal möglichen Konzentrationsfläche ergibt die Konzentrationsfläche
Division der Konzentrationsfläche zwischen der Lorenzkurve und der Diagonalen und der möglichen Konzentrationsfläche

Aufteilung in Trapeze zur Berechnung Gini Koeffizient, Formel Trapez — Trapeze Gini Koeffizient

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes ist folgende:

$A\ =\ \frac{h1+h2}{2}\ \cdot\ b$

wobei h1 und h2 für die Höhe, beziehungsweise die Seitenlängen und b für die Grundfläche steht. Konkret sind die Seitenlängen die Werte, die für die entsprechenden x- Werte an der y-Achse abgetragen werden und die Grundfläche ist nichts anderes als der Anteil an der Bevölkerung, also in unserem Fall $b=\frac{1}{n}\ =\ \frac{1}{5}\ =\ 0,2$ .

Für das Beispiel ergibt sich:

$T1\ =\ \frac{0+\ 0,056}{2}\ \times\ 0,2=\ 0,0056$
$T2\ =\ \frac{0,056+\ 0,167}{2}\ \cdot\ 0,2=\ 0,0223$
$T3\ =\ \frac{0,167+\ 0,306}{2}\ \cdot\ 0,2=\ 0,0473$
$T4\ =\ \frac{0,306+\ 0,444}{2}\ \cdot\ 0,2=\ 0,075$
$T5\ =\ \frac{0,444+\ 1}{2}\ \cdot\ 0,2=\ 0,1444$

$T1+T2+T3+T4+T5=\ 0,0056+0,0223+0,0473+0,075+0,1444=\ 0,2946$

Damit wir die Konzentrationsfläche erhalten, ziehen wir die Summe der Trapezflächen von der maximal möglichen Konzentrationsfläche ab. Die maximale Konzentrationsfläche ist $\frac{1}{2}$ , da diese genau die Fläche unter der Winkelhalbierenden entspricht. Somit erhalten wir:

$Konzentrationsfl\"ache=\frac{1}{2} - 0,2946 =0,2054$

Als letzten Schritt bestimmt man den Gini Koeffizienten, indem man die errechnete Konzentrationsfläche durch die max. möglichen Konzentrationsfläche teilt.

$G=\frac{\ 0,2054\ \ }{0,5}=\ 0,41\ =\ 41\ Prozent$

Gini Koeffizient Formel

Eine alternative Möglichkeit den Gini Koeffizienten zu bestimmen, ist die Berechnung mithilfe einer nicht ganz intuitiv herleitbaren Formel. Die kompakte Formel zur Berechnung des Gini Koeffizient ist folgende:

$G\ =\ {\frac{2\ \sum_{i=1}^{n}{ix(i)}}{n\sum_{i=i}^{n}{x(i)}}-\ \frac{n+1}{n}}$

wobei x(i) das i-te Element der sortierten Daten und n die Anzahl der Personen beschreibt.
Bei den Werten von x1=2, x2=4, x3=5, x4=5, und x5=20 der 5 Personen ergibt sich also:

$2\ \sum_{i=1}^{n}{ix(i)}=2\ \cdot\ \left(1\cdot2+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot5+5\cdot20\right)=\ 290$

$n\sum_{i=i}^{n}{x(i)}\ =\ 5\ \cdot\ \left(2+4+5+5+20\right)=180$

Nun müssen wir nur noch die Werte einsetzen und den Gini Index zu berechnen:

$G\ =\ {\frac{290}{180}-\ \frac{5+1}{5}}\ =\ 0,41\ =\ 41\ Prozent$

Gini Koeffizient Deutschland

Betrachtet man die Lorenzkurve und den Gini Koeffizienten der Einkommensverteilung von Deutschland wird deutlich, dass dieser für eine entwickelte Volkswirtschaft erstaunlich gering ist. Im Jahr 2016 lag der Gini Koeffizient von Deutschland bei 0.295, was bedeutet, dass das Einkommen innerhalb der Bevölkerung recht gleichmäßig verteilt ist. Die Lorenzkurve und der dazugehörige Gini Index der USA lag 2016 vergleichsweise bei 0,415. Die Mindestlohnregelung in Deutschland trägt dazu bei, dass die Lohnuntergrenze nach unten gedeckelt ist. So sollen Disparitäten eingeschränkt werden und eine möglichst gerechtere Einkommensverteilung realisiert werden.

Lorenzkurve

Der Gini Koeffizient fasst Ungleichheitsverteilungen in einer Zahl zusammen. Die Lorenzkurve liefert jedoch zusätzliche Informationen zur Verteilung. Wie du die Lorenzkurve zeichnest und interpretierst, erfährst du in unserem Beitrag dazu!

Zum Video: Lorenzkurve

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